고등학교는 함수의 기본을 가르치지 않습니다. 이미 되어 있다는 전제로 달립니다. 함수의 기본인 일차함수와 이차함수는 중학교 2학년과 3학년 때 배우고, 고등학교는 그 기본을 바탕으로 곧바로 확장하고 활용합니다.
왜 고등수학은 함수인가
고등수학의 약 90%는 함수와 연계되어 있습니다. 문자와 식을 그래프와 도형으로 표현한 것이 함수이기 때문에, 학교 수학의 거의 모든 단원이 결국 함수로 표현되거나 함수를 표현하기 위해 존재합니다. 함수는 다항식·방정식·부등식을 하나로 연계시키는 종합 단원입니다.
그런데 왜 무너지는가
상당수의 학생은 그 기본이 잡혀 있지 않은 채로 고등학교에 갑니다. 중학교까지는 점수가 나오던 아이가 고1에서 무너지는 지점이 여기입니다. 고등학교에서는 기본을 다시 가르칠 시간이 없습니다.
한 가지 사례가 있습니다. 전교 5등 안에 드는 중2 학생, 고등 1·2학년 선행까지 했다는 학생에게 이차함수 그래프를 그려보게 했더니 주저하다가 잘 그리지 못했습니다. 매우 우수한 학생이지만 그래프를 그리는 훈련을 거의 하지 않았기 때문입니다.
함수의 4대 골격
수피온은 함수의 기본을 네 가지 골격으로 봅니다.
- 대응 — 함수가 무엇인지 몸으로 아는 첫 단계
- 기울기 — 아이들이 가장 많이 무너지는 자리
- 평행이동 — 학교는 y 이동만 다루지만, 모든 함수의 이동은 x와 y입니다
- 두 함수 — 고등에서 날개가 되는 골격
이 골격을 각각 100장씩, 모두 400장의 그래프로 훈련합니다. 시트 한 장을 정성껏 그리면 처음에는 30분에서 1시간이 걸립니다. 훈련량이 쌓이면 5분 안쪽으로 들어옵니다. 그 변화가 훈련의 목적입니다.
함수를 하려면 연산이 먼저입니다
수피온이 권장하는 연산 완성도는 보통 수준의 200%입니다. 왜 그렇게까지 높아야 하는가 — 함수 때문입니다. 함수의 첫 단계인 ’대응’만 접해도 분수와 문자가 섞인 방정식을 암산으로 바로 풀 수 있어야 합니다. 그게 안 되면 함수는 계산에서 막힙니다.
언제 시작해야 하나
| 학년 | 무엇을 | 왜 |
|---|---|---|
| 초3~초5 | 연산 | 서두를 이유도, 늦출 이유도 없는 구간 |
| 초6~중2 | 연산을 채우고 중2 안에 함수 진입 | 고등에서 가장 여유 있는 학생들이 이 구간에 시작 |
| 중3 | 함수 시작 + 연산 동시 진행 | 초등이 여러 해에 걸쳐 가는 구간을 압축 |
중3은 늦지 않았습니다. 다만 함수와 연산을 나란히 갑니다. 함수는 1차·2차 방정식이 암산으로 나오지 않으면 진도가 서지 않기 때문입니다.
이 글의 수치는 수피온 커리큘럼 기준입니다. 함수 커리큘럼은 640개 항목, 전체 커리큘럼은 5,000개 항목입니다.